Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Скачать 3.66 Mb.

Название	Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница	1/28
Тип	Задача

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 28

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

СБОРНИК ТЕЗИСОВ СТУДЕНЧЕСКОЙ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ – 2015

Том 1

Мурманск
Издательство МГТУ
2015

Сборник тезисов студенческой научно-технической конференции – 2015, (Мурманск, 16 апр. 2015 г.) В 2 т. Т. 1 / Федер. Агенство по рыболовству, ФГБОУ ВПО "Мурман. гос. техн. ун-т". – Мурманск : Изд-во МГТУ, 2015. – 318 с.

Оригинал-макет подготовлен отделом обеспечения научно-исследовательской деятельности и проектного управления НИОКР по готовым тезисам докладов, рекомендованным жюри к опубликованию. За содержание материалов отдел ответственности не несет.

В сборнике представлены тезисы докладов студентов, курсантов МГТУ и других высших и средних учебных заведений, рекомендованных к публикации по итогам проведения студенческой научно-технической конференции СНТК – 2015.

ã Мурманский государственный
технический университет, 2015
СОДЕРЖАНИЕ

НАПРАВЛЕНИЕ: "ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ"
(в том числе математика, физика, химия) 5

"НАПРАВЛЕНИЕ: ПРОБЛЕМЫ БИОЛОГИИ И ЭКОЛОГИИ"
(в том числе зоология, ботаника, медицина) 144

НАПРАВЛЕНИЕ: "НАУКИ О ЗЕМЛЕ" 253

ПЕРЕЧЕНЬ ФАМИЛИЙ АВТОРОВ ДОКЛАДОВ 292

ПЕРЕЧЕНЬ ФАМИЛИЙ НАУЧНЫХ РУКОВОДИТЕЛЕЙ 296

НАПРАВЛЕНИЕ: "ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ"
(в том числе математика, физика, химия)

Секция: "Математические методы в решении прикладных задач"

ЗАДАЧА О "ВЕДЬМИНЫХ КРУГАХ"

Мельников Е. А. (МГТУ, ЭТМ(б)–231, ФАТ)

Богомолов Р. А. (МГТУ, кафедра высшей математики и программного обеспечения ЭВМ)

В настоящей работе рассмотрена задача о движении на плоскости
с постоянным угловым отклонением от текущего значения предписанного направления движения, соответствующая блужданию грибника по кругу
в лесу в отсутствие ориентиров (так называемые "ведьмины круги").

Содержание работы состоит в:

– построении и изучении дискретной и непрерывной моделей "ведьмина круга";

– определении формул расчета параметров "ведьмина круга" (скорости и положения блуждающего человека в лесу в любой момент времени).

Пусть h – ширина тазовой кости человека, s – длина меньшего шага,
l – длина большего шага. Пройденное за два шага расстояние определяется как l + s. Из рис. 1 видим, что

tgα =

tgβ =

, где ∆ = l – s. (1)

Рис. 1. Диаграмма

Значит, после двух шагов угловая величина уклонения от первоначального направления движения есть

 = arctg(

) – arctg(

). (2)

Не теряя общности, можно считать, что 0 <  < π.

Пусть m = l + s – величина перемещения за пару шагов. Будем использовать комплексную форму представления движения:

z(t) = x(t) + iy(t). (3)

Заметим, что вектор скорости есть

v(t) = z’(t) = x’(t) + iy’(t). (4)

Будем считать, что начальное положение – точка О (начало координат), а первоначальное направление движения – в положительную сторону оси абсцисс.

Пусть z_k – положение грибника после k-й пары шагов:

z₀= 0; z_k= z_k– 1 + me^ik^, k = 1, 2… (5)

Тогда: z_k= m + meⁱ^ + me²ⁱ^+ … + meⁱ⁽^k^– 1) = m

. (6)

С физической точки зрения грибник возвращается в начальное положение тогда, когда сделает один полный оборот. Значит, k выбирается так,чтобы k = 2π, откуда k = 2π/. Поскольку 2π/ целым быть не обязано, возьмем k =

Тогда, как нетрудно показать, |z_k| ≤ m, т. е. через
k =

шагов грибник окажется от исходной точки на расстоянии
не более пары шагов, и круг можно считать замкнувшимся. Очевидно, что в качестве радиуса получившегося "ведьмина круга" можно взять

R =

. (7)

Итак, получили дискретную модель "ведьмина круга".

z_n = m

(8)

n = 0, 1, …, k=

+1, где z_k указывает конечное положение грибника.

Получим из дискретной модели непрерывную предельным переходом.

Пусть L – пройденное расстояние, тогда L = km. Будем считать  прямо пропорциональным m: λ =

– удельное угловое искажение на единицу перемещения;  = λm, λ = const.

Переходя в (8) к пределу при m  0 и постоянных L и λ, получили непрерывную модель "ведьмина круга":

z(L) =

; (9)

при этом радиус круга рассчитывается по формуле:

R =

. (10)

Если считать движение равномерным с линейной скоростью  = const, то L=vt, где t – время, и модель примет вид зависимости от времени:

. (11)

Выделяя в (11) вещественную и мнимую части, получим непрерывную модель "ведьмина круга" в декартовых координатах:

(12)

Список литературы

Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. – М. : Высш. шк. 1986. – С. 56.