2. 2. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия
Пусть  и  – два метрических пространства с метриками  и  соответственно, а  – отображение пространства в , то есть каждому  ставится в соответствие некоторый элемент  .
Часто отображения пространств называются операторами, функционалами или функциями, что отражает их природу – действие, переводящее элемент из одного пространство в другое.
Одной из центральных тем анализа является поиск условий разрешимости уравнения
(здесь элемент  задан, а элемент неизвестен), а также построение его точных и приближенных решений. Это уравнение называется операторным уравнением первого рода.
Определение 2. Отображение  называется непрерывным в точке  , если для всякого  существует  такое, что для всех , удовлетворяющих  , выполняется неравенство
Определение 3. Отображение называется непрерывным на , если оно непрерывно в каждой точке .10
Определение 4. Отображение будем называть инъективным на , если  при  .
Определение 5. Отображение называется сюрьективным на , если  , т.е. для всякого найдется такой элемент , что  .11
Определение 6. Отображение называется биективным, если оно инъективно и сюрьективно.
Если отображение является биективным, то каждому поставим в соответствие , такой, что  . Определенное таким образом отображение называется обратным к и обозначается  (при этом  ).
Определение 7. Отображение называется гомеоморфизмом, а пространства X и Y называются гомеоморфными, если является биективным и взаимно непрерывным (т.е. отображения и являются непрерывными).
Определение 8. Отображение называется изометрией, а пространства  называются изометричными, если является гомеоморфизмом и
Изометрия пространств X и Y означает, что как метрические пространства эти объекты не различимы; различной может быть лишь природа их элементов, что с точки зрения теории метрических пространств несущественно.
|
