Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Московский государственный технологический университет “ станкин”

Скачать 87.24 Kb.

Название	Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Московский государственный технологический университет “ станкин”
Тип	Задача

rykovodstvo.ru > Руководство эксплуатация > Задача

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Московский государственный технологический университет

“СТАНКИН”

Учебно-методическое объединение по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ)

С.А. Еленев

В.Г. Новиков
Методические указания

по выполнению домашнего индивидуального

задания по статике

Москва 2006

Данные методические указания является приложением к учебному пособию «СТАТИКА», разработанному С.А. Еленевым, В.Г. Новиковым, Г.И. Шевелевой и выпущенному Издательским Центром МГТУ «Станкин» в 2001 году. В пособии «СТАТИКА» содержится теоретический материал, примеры решения задач и 30 индивидуальных заданий. Каждое индивидуальное задание представляет собой комплект из 7-ми задач по следующим темам:

Равновесие твердого тела при действии плоской системы сил.
Равновесие плоской механической системы, состоящей из нескольких тел.
Степень статической неопределимости плоских механических систем.
Равновесие механической системы под действием пространственной системы сил.
Приведение пространственной системы сил к центру.
Центр тяжести материальной линии.
Центр тяжести плоской материальной пластины.

Студент должен получить от преподавателя номер индивидуального задания и решить 7 задач (по одной задаче на каждую из перечисленных тем), условия которых приведены в пособии «СТАТИКА».

Ниже приведен пример выполнения индивидуального задания № 30.

Равновесие твердого тела при действии плоской системы сил

Задача 1.30. Считая указанную на Рис. 1 к задаче 1.30 нагрузку известной, составить уравнения равновесия для определения реакций. Длины отрезков AB,AC,CD заданы.

Решение. Рассмотрим равновесие тела ABCD. Распределенную по длине BC нагрузку заменим равнодействующей

. По величине

и приложена на расстояние

от точки В. (Рис. 2)

Выбираем систему координат X,Y и заменяем наложенные на тело связи их реакциями: в неподвижном шарнире A- силами

в идеальном стержне B - силой

.

Эти реакции (

) предварительно направляем в положительные стороны координатных осей. Если величины реакций окажутся отрицательными, то это будет означать, что их истинные направления противоположны.

Система сил, приложенных к данному телу, эквивалентна нулю, т.е. (

)~0.

Так как число неизвестных (

) равно трем и число уравнений равновесия данной плоской произвольной системы равно трем, то задача статически определима.

Составляем уравнения равновесия:

Равновесие плоской механической системы,

состоящей из нескольких тел
Задача 2.30. Составить уравнения равновесия для определения опорных реакций и давления во внутренних шарнирах A,B,C. (Рис.1 к заданию 2.30) Нагрузка и размеры указанны на рисунке.

Решение. Система, изображенная на Рис.1 к задаче 2.30, находится в равновесии и состоит из четырех тел AD, DC, CE и BE, соединенных внутренними шарнирами D, C, E.

Заменим заделки их реакциями: силами

и реактивными моментами

_. Расчленим систему в шарнирах D,C,E и заменим их внутренними реактивными силами

По третьей аксиоме механики (действие равно противодействию) реакции

.

Распределенную нагрузку, приложенную к телу DC заменим одной силой

- равнодействующей. Причем сила

расположена на расстоянии

от точки С и равна:

;

Для каждого из четырех тел системы составим по три уравнения.
Условие равновесия тела AD (Рис.2 к задаче 2.30)

Условие равновесия тела DC (Рис.3 к задаче 2.30)

Условие равновесия тела CE (Рис.4 к задаче 2.30)

Условие равновесия тела BE (Рис.5 к задаче 2.30)

Полученная система двенадцати уравнений позволяет определить все двенадцать неизвестных реакций.

Степень статической неопределимости плоских механических систем

Задача 3.30. Определить степень статической неопределимости плоской механической системы (Рис.1 к задаче 3.30) относительно опорных реакций.

Решение. Рассмотрим равновесие тела (или тел), на которое действует активная нагрузка. В данном случае три силы и один момент действуют на одно тело ACB.

В точках A и C тело опирается на ненагруженные стержни. Следовательно, в них действуют реакции стержней

(Рис.2), а в точке В опорой является неподвижный шарнир В с двумя реактивными силами

Таким образом, мы можем составить лишь три уравнения равновесия тела ABC, а неизвестных реактивных сил – четыре (

). Следовательно, в данной задаче степень статической неопределимости равна единице.

N=4-3=1

Ответ: N=1

4. Равновесие механической системы

под действием пространственной системы сил

Задача 4.30. Составить уравнения равновесия тяжелой прямоугольной пластины АВСD весом Р, к которой приложена сила F. Пластина удерживается в равновесии при помощи сферического шарнира А, цилиндрической петли D и нити в точке В (рис.1 к задаче 4.30).
Решение. Приложим в центре тяжести пластины силу Р тяжести и освободим пластину от связей, заменив их силами реакций (рис.2).

Действие сферического шарнира А заменяем силами

Рис.1
Петлю заменяем силами

, расположенными в плоскости, перпендикулярной оси АD возможного вращения пластины.

Нить заменяем силой

натяжения, направленной вдоль нити и приложенной в точке В.
Так как пластина находится в равновесии, то система сил, на неё действующая , является уравновешенной:

 0.
Составляем 6 уравнений равновесия твердого тела (пластины АВСD), находящегося под действием пространственной системы сил:

;

= 0;

;

= 0;

;

Рис.2

Из составленных шести уравнений равновесия можно определить 6 неизвестных сил реакций:

5. Приведение пространственной системы сил к центру
Задача 5.30. На куб с длиной ребра, равной

= 1 м, действует несколько сил, каждая из которых равна 1 Н, и несколько пар сил, моменты которых равны 1 Нм. Привести заданную систему сил к центру О (рис.1 к задаче 5.30).
Решение. Привести заданную систему сил к центру О - это значит заменить заданную систему одной силой, равной главному вектору, и одной парой сил, момент которой равен главному моменту заданной системы сил, причем главный вектор и главный момент приложены в центре приведения (в точке О).

Главный вектор

равен геометрической сумме всех сил системы:

Рис.1

,

или в проекциях на декартовы оси координат:

;

Величина главного вектора равна

.
Направление главного вектора в выбранной декартовой системе координат определяется направляющими косинусами:

;

,

где

орты координатных осей.

Главный момент системы сил равен геометрической сумме векторов-моментов всех сил системы относительно центра приведения. Если в системе есть одна или несколько пар, то при приведении к центру нужно иметь в виду, что сумма векторов-моментов сил пары не зависит от положения центра, относительно которого она подсчитывается, и равна вектору-моменту этой пары. Поэтому, при вычислении главного момента вектор-момент пары сил следует вычислить по формуле:

,

или в проекциях на оси координат:

;

Величина главного момента равна

.
Направление главного момента в выбранной декартовой системе координат определяется направляющими косинусами:

;

Рис.2
Результаты приведения системы сил к центру О показаны на рис.2 к задаче 5.30.(

)
Заметим, что куб не находится в равновесии, поскольку главный вектор и главный момент приложенной системы сил отличны от нуля.

Вычислим скалярное произведение

. В данной задаче

, следовательно, система сил приводится к динамическому виду.

Рис.1
6. Центр тяжести плоской материальной линии

Задача 6.30. В системе отсчета, указанной на рис.1 к задаче 6.30, определить координаты плоской материальной линии, состоящей из нескольких частей. Удельный вес всех частей одинаков, размер а считать известным.
Решение. Для определения координат центра тяжести (точки С) используем метод разбиения. «Разобьем» заданную материальную линию на четыре части: 1 и 4 - четверти окружности, а 2 и 3 - отрезки прямых (рис.2). Координаты центра тяжести заданной материальной линии в указанной на рис.1 к задаче 6.30 декартовой системе координат рассчитываются по формулам:

,
где

- длины линий 1, 2, 3, 4;

- координаты центров тяжести (С₁ и С₄) четвертей окружности;

-- координаты центров тяжести (С₂ и С₃) отрезков 2 и 3.

Центры тяжести С₁ и С₄ четвертей окружности лежат на биссектрисах прямых углов. Расстояние от центра окружности до центра тяжести четверти окружности равно

,

где а - радиус окружности,  - угол (в радианах), равный половине центрального угла, стягивающего дугу окружности, в данном случае  = 4.

Центры тяжести С₂ и С₃ отрезков 2 и 3 лежат в серединах этих отрезков.

Координаты центров тяжести линий 1, 2, 3, 4 равны:

;

Рис.2

Определяем длины линий:

.

Подставляя полученные выражения в расчетные формулы для координат центра тяжести линии, получаем:

.

Замечание. Решение задачи значительно упрощается при использовании метода симметрии. Очевидно, что общий центр тяжести линий 1 и 4 лежит в точке О, а общий центр тяжести отрезков 2 и 3 лежит в точке С₂₃ , находящейся в середине отрезка С₂С₃ (проекция точки С₂₃ на ось х отстоит от начала координат на расстоянии

). При этом расчетные формулы упрощаются:

.

7. Центр тяжести плоской материальной пластины

Рис.1 к задаче 6.60

Задача 6.60. Найти координаты центра тяжести плоской материальной фигуры (рис.1 к задаче 6.60). Удельный вес всех частей фигуры одинаков, размер а считать известным.
Решение. Координатная ось у является осью симметрии фигуры, следовательно, центр тяжести фигуры лежит на этой оси (х_С = 0).

Рис.2
Для решения задачи используем метод разбиения и метод отрицательных масс (отрицательных площадей). Представим фигуру состоящей из четырех частей (рис.2 к задаче 6.60):

фигура 1 - треугольник с основанием 4а и высотой 2а, площадь которого равна

= 4а²;

фигура 2 - полукруг радиуса а с отрицательной площадью

;

фигуры 3 4 - прямоугольники со сторонами а и 2а с площадями

= 2а².

Положение центра тяжести всей фигуры определяется по формуле:

.
Из рис.2 к задаче 6.60 видно, что

.
Подставляя эти выражения в основную расчетную формулу, получаем положение центра тяжести фигуры на оси у:

Похожие:

	Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Санкт-петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики		Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный Национальный исследовательский...
	Практикум Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное... Л. А. Федько, кандидат педагогических наук, доцент кафедры иностранных языков двгту		Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Фгу «Государственный научно-исследовательский институт информационных технологий и телекоммуникаций»
	Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Фгу «Государственный научно-исследовательский институт информационных технологий и телекоммуникаций»		Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный...
	Федеральное агентство по образованию сахалинский государственный университет Рассмотрена и рекомендована к утверждению Методической комиссией факультета математики, физики и информатики		И нновационная образовательная программа федеральное агентство по образованию Гоу впо «Уральский государственный технический университет – упи имени первого президента России Б. Н. Ельцина»
	Науки Российской Федерации Федеральное Агентство по Образованию Государственное... Федеральное Агентство по Образованию Государственное Общеобразовательное Учреждение Высшего Профиля		Практикум Федеральное агентство по образованию рв владивостокский государственный университет Практикум «Английский язык: Читаем и говорим по-английски. Часть 2» предназначен для студентов специальностей «Международные отношения»...
	Федеральное агентство по образованию новосибирский государственный... Лабораторная работа № Мировые библиотеки. Работа в электронных каталогах библиотек 14		Федеральное государственное образовательное учреждение впо ставропольский... Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов российской федерации по агрономическому образованию в качестве учебного пособия...
	Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Федеральные органы управления образованием, образовательные учреждения, программы и проекты 3		Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Общее количество студентов, с которыми работает кафедра финского языка
	Конкурсная документация Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный медико-стоматологический...		Рекомендации по применению компьютерного моделирования для анализа... Разработан фгбоу впо московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (мади)

Руководство, инструкция по применению